בגרות 4 יחידות מתמטיקה - שאלון 471 לדוגמא
שאלון 471 הוא השאלון הראשון של 4 יח"ל מתמטיקה במתכונת החדשה (מחליף את שאלון 804). המבחן נמשך שלוש שעות וחצי, ובנוי משלושה פרקים - סדרות, סטטיסטיקה והסתברות; גיאומטריה; וחדו"א של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש. עליכם לענות על 5 שאלות מתוך 8 - כל שאלה שווה 20 נקודות.
המבחן שבעמוד זה הוא מבחן לדוגמא שמדמה את מבחן הבגרות האמיתי. אנחנו ממליצים לפתור אותו ברצף, על גבי דפי טיוטה, כדי לחוות את האינטנסיביות שלו. לאחר שתסיימו, תוכלו לחזור לפתרונות ולהסברים וללמוד מהם.
שימו 
- ניתן להיעזר בדף נוסחאות ובמחשבון מדעי (לא גרפי, וללא שימוש באפשרויות התכנות שבמחשבון).
פרק 1 - הסתברות, סטטיסטיקה וסדרות חשבוניות
נתון: ההסתברות לבחור שני קופי גיבון בזה אחר זה מהמתחם עם החזרה היא 0.4096.
א. מצאו את Y
הוסיפו למתחם "כאן מבלים בכיף" חמש גורילות. לאחר ההוספה, הוציאו מהמתחם באקראי שני קופים ללא החזרה.
ב. מהי ההסתברות ששני הקופים שהוצאו מהמתחם היו מאותו סוג?
ידוע שקופי גיבון ואורנגאוטן אינם מסתדרים אם הם צריכים להיות יחד בלי חבריהם. לכן, אם מוציאים קוף גיבון ואורנגאוטן, מחזירים את שניהם ומוציאים שוב קופים שונים.
ג. ידוע שהוציאו מהמתחם שני קופים מאותו הסוג. מה ההסתברות שהקופים שהוצאו הם גורילות?
75% מקופי הגיבון אוהבים בננות ו-20% מהגורילות לא אוהבות בננות.
ד. בוחרים באקראי קוף מתוך קופי הגיבון והגורילה. מה ההסתברות שהקוף שנבחר הוא קוף שלא אוהב בננות?
ה. ידוע שנבחר קוף גורילה או גיבון שאוהב בננות. מה ההסתברות שנבחרה גורילה?
א. ההסתברות להוציא עם החזרה פעמיים קופי גיבון היא ההסתברות של הוצאת קוף גיבון בריבוע.
גילינו שמספר הקופים הכולל הוא 25.
ב. ראשית נחשב את מספר קופי האורנגאוטן.
מצאנו בסעיף הראשון שיש 25 קופים ומתוכם 16 קובי גיבון. שאר הקופים הם קופי אורנגאוטן. לכן:
נסכם:
מספר קופי גיבון: 16
מספר קופי אורנגאוטן: 9
מספר גורילות: 5
נבנה עץ אפשרויות:
עלינו לחשב מה ההסתברות ששני הקופים שהוצאו מהמתחם היו מאותו סוג, כלומר מצב שבו הוצאו שני קופי גיבון או שני קופי אורנגאוטן או שתי גורילות. נחשב את ההסתברות של כל אחת מהאופציות ולבסוף נסכום אותן יחד.
כעת, נסכום את כל האופציות.
ההסתברות ששני הקופים שהוציאו מהמתחם היו מאותו סוג היא 
ג. נחשב את ההסתברות שהוצאו שתי גורילות, אם ידוע שהוצאו שני קופים מאותו הסוג. זוהי הסתברות מותנית, ולכן נשתמש בנוסחה:
ד. בשאלה זו אנו נשאלים על קופי הגיבון והגורילה בלבד. לכן נתייחס רק אליהם ונוריד את קופי האורנגאוטן מתוך כלל הקופים.
יש 21 קופי גיבון וגורילה. כעת, נחשב כמה מהם אינם אוהבים בננות.
נתון ש-75% מקופי הגיבון אוהבים בננות. נחשב את ההסתברות המשלימה:
נחשב כמה הם 25% מתוך 16 קופי גיבון סה"כ:
כלומר, 4 קופי גיבון לא אוהבים בננות.
נמשיך לחישוב מספר הגורילות שאוהבות בננות. נתון ש-20% מהגורילות אינן אוהבות בננות. נחשב כמה הם 20% מתוך 5 קופי גורילה סה"כ:
כלומר, גורילה אחת לא אוהבת בננות.
בסך הכול יש 5 קופים שלא אוהבים בננות, מתוך 21 קופים (גיבון וגורילות), לכן ההסתברות לבחור קוף שלא אוהב בננות מתוך קופי הגיבון והגורילות היא 
ה. עלינו לחשב את ההסתברות שנבחרה גורילה בהינתן שנבחר קוף גיבון או גורילה שאוהב בננות.
ראשית, נחשב את ההסתברות שנבחר קוף שאוהב בננות. נחסר מהשלם (1) את ההסתברות לבחור קוף שאינו אוהב בננות (הסתברות שמצאנו בסעיף הקודם), ונמצא את ההסתברות לבחור קוף שאוהב בננות:
ההסתברות לבחור קוף שאוהב בננות היא 
שנית, נחשב את ההסתברות שנבחרה גורילה שאוהבת בננות.
גילינו בסעיף הקודם שגורילה אחת מתוך 5 גורילות לא אוהבת בננות. מכאן שיש 4 גורילות שאוהבות בננות.
כלומר, ההסתברות לבחור קוף גורילה שאוהב בננות היא 
כעת נחשב את ההסתברות שנבחרה גורילה שאוהבת בננות, אם ידוע שנבחר קוף שאוהב בננות.
א. מה משקל הענבים הממוצע שהניב כל עץ בשנה המדוברת?
ב. ידוע כי אחוז העצים בכרם שהניבו פחות מ-4 ק"ג של ענבים בשנה הוא 2.27%. מהי סטיית התקן?
ג. בחרו עץ מסוים באקראי. מה ההסתברות שמשקל הענבים שהניב העץ באותה השנה הוא בין 14 ק"ג ל-17 ק"ג?
ביקב יש 2,000 עצי גפן. כל העצים שהניבו 6 ק"ג של ענבים או פחות נעקרו, ונשתלו במקומם עצי גפן חדשים.
ד. איזה אחוז מעצי הגפן נעקרו?
ה. כמה עצי גפן הניבו יותר מ-6 ק"ג של ענבים בשנה המדוברת (בקירוב)?
בשנה העוקבת בדקו שנית את משקל הענבים שהניב כל אחד מעצי הגפן, ומצאו שמשקל הענבים הממוצע לעץ היה 14 ק"ג. אולם אחוז עצי הגפן שהניבו 6 ק"ג של ענבים או פחות נשאר ללא שינוי.
ו. חשבו את סטיית התקן של משקל הענבים שהניב כל אחד מעצי הגפן בשנה השנייה.
א. נתון כי משקל הענבים שהניבו עצי הגפן בשנה מסוימת מתפלג נורמלית וכי החציון הוא 12 ק"ג. בהתפלגות נורמלית הממוצע שווה לחציון וגם לשכיח (משום שההתפלגות היא סימטרית סביב הממוצע). לכן הממוצע של משקל הענבים שהניב כל עץ גפן שווה גם הוא ל-12 ק"ג.
ב. נתון כי 2.27% מהעצים בכרם הניבו פחות מ-4 ק"ג ענבים. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, ציון התקן המתאים ל-0.0227 הוא 
. נציב את הנתונים בנוסחה של ציון התקן:
סטיית התקן של משקל הענבים שהניב כל עץ היא 4 ק"ג.
ג. נחשב מה אחוז העצים שהניבו 14 ק"ג ענבים או פחות:
נחשב מה אחוז העצים שהניבו 17 ק"ג ענבים או פחות:
כדי למצוא את אחוז העצים שהניבו בין 14 ל-17 ק"ג ענבים עלינו לחשב את ההפרש בין האחוזים שמצאנו:
מכאן שההסתברות שמשקל הענבים שהניב עץ באותה השנה הוא בין 14 ק"ג ל-17 ק"ג היא 20.2%.
ד. כדי למצוא את אחוז העצים שנעקרו, עלינו לחשב איזה אחוז מהעצים הניבו 6 ק"ג ענבים או פחות:
אחוז עצי הגפן שנעקרו הוא 6.7%
ה. כדי לדעת כמה עצי גפן הניבו יותר מ-6 ק"ג של ענבים, נחשב את אחוז העצים שלא נעקרו, ולאחר מכן נבדוק לכמה שווה האחוז הזה מתוך 2,000 העצים שיש ביקב.
אחוז עצי הגפן שלא נעקרו הוא האחוז המשלים לעצים שכן נעקרו:
כעת נחשב את כמות העצים שמהווים 93.3% מתוך 2,000 העצים ביקב:
קיבלנו ש-1,866 עצים הניבו יותר מ-6 ק"ג של ענבים בשנה המדוברת.
ו. נתון שמשקל הענבים הממוצע שהניב כל עץ בשנה השנייה הוא 14 ק"ג, ושאחוז עצי הגפן שהניבו 6 ק"ג של ענבים או פחות לא השתנה, כלומר הוא שווה ל-6.7%. נשתמש בציון התקן המתאים לאחוז זה (z=-1.5) ונמצא את סטיית התקן החדשה:
סטיית התקן של משקל הענבים שהניב כל עץ בשנה השנייה היא 
ק"ג.
א. כמה כסף העבירה רונית לחיסכון בחודש הראשון?
ב. אם רונית הייתה מפסיקה לחסוך אחרי 6 חודשים, כמה כסף היה מצטבר בחיסכון שלה?
גם אחותה של רונית החליטה להתחיל לחסוך כסף באותה הזמן. היא החליטה להעביר לחיסכון סכום קבוע של 200 שקלים בכל חודש.
ג. כעבור כמה זמן יצטבר בחיסכון של רונית ושל אחותה סכום זהה?
ד. רונית ואחותה מצאו חופשה זוגית שעלותה 4,500 שקלים (לשתיהן), הן רוצות לאחד את החסכונות שלהן ולממן את החופשה מהכסף המשותף. במשך כמה חודשים הן יצטרכו לחסוך?
. כמו כן, נתון שהסכום שיצטבר בחיסכון שלה כעבור שנה הוא 4,500 ש"ח. במילים אחרות, הסכום של 12 האיברים הראשונים בסדרה הוא 4,500.
כדי למצוא את האיבר הראשון בסדרה, נציב את הנתונים הללו בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
נוכל להיפטר מהמכנה של השבר על ידי צמצום ב-2:
נחלק את שני האגפים ב-6 כדי לפשט את התרגיל ונחשב:
מצאנו כי רונית העבירה 100 ש"ח לחיסכון בחודש הראשון.
ב. הסכום שרונית צברה לאחר 6 חודשים שווה לסכום של 6 האיברים הראשונים בסדרה.
נשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
נציב את הנתונים הידועים לנו:
נוכל להיפטר מהמכנה של השבר על ידי צמצום ב-2 של המונה:
כלומר, לאחר 6 חודשים מצטבר בחיסכון של רונית 1,350 ש"ח.
ג. אחותה של רונית מפרישה לחיסכון סכום קבוע של 200 ₪ בכל חודש, לכן הסכום שיצטבר בחיסכון שלה לאחר n חודשים הוא (200∙n).
נשווה את סכום החיסכון של רונית לסכום החיסכון של אחותה:
נציב את הנתונים הידועים לנו:
נחלק את שני האגפים ב-n:
נכפול את המשוואה ב-2:
מצאנו כי סכום החיסכון של רונית וסכום החיסכון של אחותה יהיו שווים לאחר 5 חודשי חיסכון.
ד. כעת עלינו לחבר את סכום החיסכון של רונית עם זה של אחותה, ולמצוא מתי הסכום של שני
החסכונות יחד יהיה שווה ל-4,500 ₪ (מחיר החופשה).
נציב את הנתונים הידועים לנו ונחשב:
קיבלנו משוואה ריבועית, כדי לפשט את הפתרון נחלק את שני האגפים ב-25:
כעת, נציב בנוסחת השורשים:
מכיוון ש-n מייצג את מספר חודשי החיסכון, הוא אינו יכול להיות מספר שלילי, ולכן
התשובה המתאימה היא 
רונית ואחותה יצטרכו לחסוך יחד במשך תשעה חודשים כדי לממן את החופשה.
פרק 2 - גיאומטריה
א.
(1) הוכיחו: DE || AB
(2) הוכיחו: ΔABC~ΔDEC
ב. נתון: (6,4)B ו-BC=5
(1) מצאו את שיעורי הנקודות C ו-E.
(2) מצאו את משוואת הישר BC.
ג. נתון: 
, (4,
)F
(1) מצאו את משוואת הישר AC.
(2) מצאו את משוואת הישר DF.
ד. מצאו את גודל זווית BCG.
ה. הוכיחו כי BCDF הוא טרפז וחשבו את שטחו.
| טענה | הסבר | |
| 1 | AB מקביל לציר ה-X | נתון |
| 2 | ED קטע אמצעים ב-ΔABC | נתון |
| 3 | DE || AB | קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. מ.ש.ל |
א. (2)
| 4 |
|
זווית משותפת |
| 5 |  |
זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים |
| 6 | ΔABC~ΔDEC | משפט דמיון ז.ז: אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים. מ.ש.ל |
ב. (1)
| 7 | 5 ס"מ =BC | נתון |
| 8 | B(6,4) | נתון |
| 9 |  |
נוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות |
| 10 |
|
- הצבת נקודה B -נפסול את התשובה |
| 11 | C(3,0) | לפי החישוב בסעיף 10. מ.ש.ל נקודה C |
| 12 | E נקודת אמצע קטע CB | ED קטע אמצעים ב-ΔABC |
| 13 |
|
נוסחה לחישוב שיעורי נקודת אמצע קטע |
| 14 |
|
נוסחה לחישוב שיעורי נקודת אמצע קטע |
| 15 | E(4.5,2) | לפי החישובים בסעיפים 13 ו-14. מ.ש.ל נקודה E |
, 
ב. (2)
| 16 |  |
נוסחה לחישוב שיפוע של ישר העובר דרך שתי נקודות |
| 17 |  |
הצבת נקודות C,B (סעיפים 8, 9) בנוסחה |
| 18 |
|
נוסחה של משוואת הישר |
| 19 |
|
הצבה של שיעורי נקודה C (סעיף 8) והשיפוע (סעיף 17) בנוסחה של משוואת הישר. מ.ש.ל |
ג. (1)
| 20 | AC ⊥ BC | נתון |
| 21 |  |
שיפועים בישרים מאונכים הם הופכיים ונגדיים |
| 22 |
|
הצבה של שיפוע BC בנוסחה |
| 23 |
|
הצבת נקודה C (סעיף 11) ושיפוע (סעיף 22) בנוסחת משוואת הישר (סעיף 18). מ.ש.ל |
ג. (2)
| 24 |  |
DE ישר המקביל לציר ה-X ולכן שיעור ה-y שלהם שווה (סעיף 15) |
| 25 |
|
הצבה של  במשוואת הישר של AC (סעיף 23) כדי למצוא את  |
| 26 | (2, )D |
נקודה D לפי הסעיפים 24, 25 |
| 27 | (4, )F |
נתון |
| 28 |  |
שימוש בנוסחה לחישוב שיפוע (סעיף 16) והצבה של הנקודות D (סעיף 26) ו-F (סעיף 27) |
| 29 |
|
הצבה במשוואת הישר (סעיף 18) את נקודה D (סעיף 28) ואת השיפוע של הישר (סעיף 29). מ.ש.ל |
ד.
| 30 |
|
טנגנס הזווית שבין הפונקציה הקווית לכיוון החיובי של ציר ה-X שווה לשיפוע של הפונקציה הקווית |
| 31 |
|
הצבת שיפוע BC (סעיף 17) בנוסחה מסעיף 30 וחישוב. מ.ש.ל |
ה.
| 32 |
|
לפי סעיפים 17 ו-28 |
| 33 | DF || BC | כאשר לשני ישרים יש שיפוע שווה, הישרים מקבילים |
| 34 |
|
שיפוע של ישר המקביל לציר ה-X שווה לאפס (סעיף 1) |
| 35 |
|
לחלק מישר יש את אותו שיפוע כמו לכולו (סעיף 22) |
| 36 | FB אינו מקביל ל-DC | בסעיפים 34, 35 רואים שלישרים יש שיפועים שונים ולכן אינם מקבילים |
| 37 | BCDF טרפז | מרובע שלו זוג צלעות מקבילות וזוג צלעות שאינן מקבילות הוא טרפז. מ.ש.ל (הוכחת טרפז) |
| 38 |
|
הצבת נקודות D ו-C בנוסחה לחישוב אורך קטע |
| 39 |
|
הצבת נקודות D ו-F בנוסחה לחישוב אורך קטע |
| 40 |  |
נוסחה לחישוב שטח טרפז |
| 41 |  |
הצבה בנוסחה. מ.ש.ל (שטח הטרפז) |
א. הסבירו מדוע ישר EF מקביל לציר ה-y.
נתון A(-2,2) ו-C(6,2)
ב. מצאו את משוואת המעגל.
ג.
(1) מצאו את משוואת הישר של BC ו-AB.
(2) מצאו את שיעורי הנקודה G.
ד. הוכיחו ש-ABFD מקבילית וחשבו את שטחה.
ה. הוכיחו: 
א.
| סעיף | הסבר | |
| 1 | AC מקביל לציר ה-x | נתון |
| 2 | FE משיק למעגל | נתון |
| 3 | DC רדיוס במעגל | D מרכז המעגל ו-C נקודה על היקף המעגל |
| 4 |  |
רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה |
| 5 | EF מקביל לציר ה-y | ישר AC מקביל לציר ה-X ולכן ישר שמאונך לו יהיה מקביל לציר ה-y. מ.ש.ל |
ב.
| 7 | C(6,2) | נתון |
| 8 | A(-2,2) | נתון |
| 9 |  |
AC מקביל לציר ה-x (סעיף 1) ולכן ניתן לחשב את אורכו על ידי ההפרש בין ערכי ה-x של נקודה C ונקודה A |
| 10 |
|
AC הוא מיתר שעובר דרך מרכז המעגל ולכן הוא קוטר |
| 11 |
|
נוסחה לחישוב שיעורי נקודת אמצע והצבת שיעורי ה-x של A ו-C. מאחר שנקודה D היא מרכז המעגל (סעיף 3) ו-AC קוטר, נקודה D היא אמצע הקטע |
| 12 |  |
AC מקביל לציר ה-x ולכן שיעור ה-y לאורך הקטע זהה |
| 13 | D(2,2) | נקודה D לפי חישוב סעיפים 11,12 |
| 14 |  |
נוסחת משוואת מעגל שמרכזו (a, b) ורדיוסו R |
| 15 |  |
הצבה של נקודה D (סעיף 13) ושל הרדיוס (סעיף 10) בנוסחה של משוואת המעגל. מ.ש.ל |
ג. (1)
| 16 |  |
BD יוצא ממרכז המעגל לנקודה על היקף המעגל ולכן הוא רדיוס. שימוש באורך רדיוס שחושב בסעיף 10 |
| 17 |  |
רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה (נתון כי BF משיק למעגל) |
| 18 |  |
AC מקביל לציר ה-X, ומכיוון ש-BD מאונך לו, אפשר להסיק שהוא מקביל לציר ה-y. לכן, שיעור ה-x של שתי הנקודות זהה |
| 19 |  |
חישוב אורך קטע המקביל לציר ה-y |
| 20 |
|
הצבה לפי סעיפים 12, 16 בנוסחה |
| 21 | B(2,-2) | לפי סעיפים 18 ו-20 |
| 22 | |
נוסחה לחישוב שיפוע של ישר העובר דרך שתי נקודות |
| 23 |  |
הצבת נקודות C,B (סעיפים 7, 21) בנוסחה וחישוב |
| 24 |  |
זווית היקפית שנשענת על קוטר |
| 25 |  |
AB ו-BC מאונכים לפי סעיף 24. שיפועים של ישרים מאונכים הם הופכים ונגדיים |
| 26 |
|
הצבה של שיפוע BC (סעיף 23) בנוסחה בסעיף 25 וחישוב |
| 27 |
|
נוסחה של משוואת הישר |
| 28 |
|
שימוש בנוסחת משוואת הישר והצבה של נקודה B (סעיף 21) ושיפוע BC (סעיף 23). בנוסף, חישוב משוואת הישר BC. מ.ש.ל משוואת BC |
| 29 |
|
שימוש בנוסחת משוואת הישר (סעיף 27) והצבה של נקודה B (סעיף 21) ושיפוע AB (סעיף 23). בנוסף, חישוב משוואת הישר AB. מ.ש.ל משוואת AB |
(2)
| 30 |  |
נקודה G על ציר ה-x (סעיף 30) ולכן ערך ה-y של הנקודה שווה לאפס |
| 31 |
|
G נקודה על הישר BC. הצבה yG=0 (סעיף 30) במשוואת הישר BC (סעיף 28) לחישוב ערך xG |
| 32 | G(4,0) | נקודה G שחושבה בסעיפים 30, 31. מ.ש.ל |
ד.
| 33 | AD מקביל לציר ה-x | חלק מקטע המקביל לציר ה-X |
| 34 | BF מקביל לציר ה-x | נתון |
| 35 | AD || BF | שני ישרים המקבילים לציר ה-x מקבילים גם זה לזה |
| 36 |  |
BF מקביל לציר ה-x ולכן שיעור ה-y של הנקודות B ו-F שווה |
| 37 |  |
EF מקביל לציר ה-y ולכן שיעור ה-x של הנקודות C ו-F שווה |
| 38 | F(6,-2) | נקודה F, לפי סעיפים 37, 36 |
| 39 |  |
הצבת נקודות D,F (סעיפים 13, 38) בנוסחה לחישוב שיפוע |
| 40 | AB || DF | ישרים בעלי שיפועים זהים מקבילים זה לזה |
| 41 | ABFD מקבילית | מרובע בעל שני זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית. מ.ש.ל הוכחת מקבילית |
| 42 |
|
נוסחה לחישוב שטח מקבילית |
| 43 |
|
AD בסיס במקבילית ו-BD גובה (מאונך לו). שניהם רדיוסים במעגל. מ.ש.ל. חישוב שטח המקבילית |
ה.
| 44 |  |
חישוב אורך קטע המקביל לציר ה-X |
| 45 |
ס"מ DC = 4 BF=DC |
DC הוא רדיוס במעגל ולכן שווה ל-4 ס"מ. מכאן שלפי כלל המעבר BF=DC |
| 46 | AC || BF | אם ישר (AD) מקביל לישר אחר (BF) (סעיף 35), גם ההמשך שלו מקביל (DC) |
| 47 |  |
זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (סעיף 46) |
| 48 |  |
זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (סעיף 46) |
| 49 |  |
משפט ז.צ.ז מסעיפים 46, 48 ו-49. מ.ש.ל |
פרק 3 - חדו"א
א.
(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.
(2) מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה).
(4) האם הפונקציה זוגית? הסבירו.
(5) מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה) וקבעו את סוגן.
ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ג. נתונה הפונקציה 
כאשר C הוא פרמטר.
(1) מהן האסימפטוטות של פונקציה g(x) (הביעו באמצעות C)?
(2) כתבו דוגמה ל-C שעבורו השטח הכלוא בין הפונקציה g(x) והישר y=5 גדול יותר מהשטח הכלוא בין הפונקציה f(x) לאותו ישר.
א.
(1) הביטוי שבתוך השורש צריך להיות גדול מ-0:
תחום ההגדרה: 
(2) אסימפטוטה אנכית מתקבלת כשקיים ערך של x שעבורו המכנה שווה ל-0 והמונה אינו 0:
כלומר, יש שתי אסימפטוטות אנכיות ב-x=2 וב-(x=(-2
אין אסימפטוטה אופקית, כי תחום ההגדרה הוא 
והפונקציה לא קיימת באזור ששואף לאינסוף.
(3) נק' חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר y=0:
המצב אינו אפשרי ולכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה-x.
נק' חיתוך עם ציר ה-y מתקבלת כאשר x=0:
כלומר, נקודת החיתוך עם ציר ה-y היא (
,0).
(4) פונקציה היא זוגית כאשר מתקיים y(x)=y(-x). מכיוון ש-x עולה בריבוע תנאי זה מתקיים, ולכן מדובר בפונקציה זוגית.
(5) כדי למצוא נקודות קיצון עלינו לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת ל-0:
מצאנו שקיימת נקודת קיצון ב-. את ערך ה-y מצאנו כבר בסעיף (3). נקודת הקיצון היא (0,2).
נמצא את סוג נקודת הקיצון:
| 1 | 0 | 1- | x |
| חיובי | 0 | שלילי | f'(x) |
 |
מינימום |  |
ב.
ג.
(1) נמצא את האסימפטוטות האנכיות:
כלומר, יש אסימפטוטה אנכית ב-
וב-
.
אין אסימפטוטה אופקית כי תחום ההגדרה הוא , והפונקציה לא קיימת באזור ששואף לאינסוף.
(2) ככל שהאסימפטוטות האנכיות יתרחקו מציר ה-y, כך השטח הכלוא בין הפונקציה לישר y=5 יגדל. מכיוון ש-c נמצא במכנה, c צריך להיות שבר בין (1-) ל-1 כדי שהביטוי כולו יגדל. למשל, אם c=0.5 נקבל אסימפטוטות ב-x=4 וב-(x=(-4:
ו - 
א. קבעו איזה גרף מהתרשים שלמטה מתאים לכל פונקציה (התאימו בין M ו-N ל-f(x) ו-g(x)).
ב. מצאו את נקודות החיתוך A ו-B של שתי הפונקציות זו עם זו.
ג. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציות וקבעו את סוגן.
ד. מצאו את השטח הכלוא בין הפונקציות והישרים x=xB ו-x=xC
א. עקומה M עוברת בראשית הצירים ולכן מתאימה ל-g(x).
מכאן שעקומה N היא f(x).
ב. נשווה בין הפונקציות:
נשתמש בנוסחת השורשים:
נציב את ערכי ה-x באחת מהפונקציות כדי למצוא את ערכי ה-y של הנקודות:
נקודות החיתוך הן: A(-0.16, 0.95), B(-1.95, 1.5)
ג. נגזור את הפונקציות ונשווה ל-0:
נציב את ערכי ה-x בפונקציה המקורית:
הנקודה (0.93 ,0.14-) היא נקודת מינימום, לפי הגרף.
הנקודה (2.1 ,1.19-) היא נקודת מקסימום, לפי הגרף.
נעבור לפונקציה g(x):
נציב את ערכי ה-x בפונקציה המקורית:
הנקודה (4-,1) היא נקודת מינימום, לפי הגרף.
הנקודה (4 ,1-) היא נקודת מקסימום, לפי הגרף.
ד.
xC=-1
xB=0.16
נחשב את השטח:
ידוע כי הפונקציה f'(x) חותכת את ציר ה-x בנקודות (0.5-) ו-a בלבד (a הוא פרמטר).
א. מהם שיעורי ה-x של נקודות הקיצון של f(x) ומה סוגן? הביעו באמצעות a אם יש צורך בכך.
ב. נתון כי הפונקציה היא 
(1) מצאו את a.
(2) חשבו את השטח הכלוא בין ציר ה-x החיובי, הישר המקביל לציר ה-y שערך ה-x שלו שווה לערך ה-x של נקודת המקסימום של f'(x) והפונקציה f'(x), כמתואר בסרטוט:
ג.
(1)מצאו את ערכי ה-y של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)
(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)
(3) מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) בנקודה שבה x=2.
א. ערכי ה-x של נקודות הקיצון של פונקציה שווים לנקודות החיתוך של נגזרת הפונקציה עם ציר ה-x. לכן, ערכי ה-x של נקודות הקיצון של f(x) הן (0.5-) ו-a. כדי למצוא את סוגן נבחן את גרף הנגזרת:
- משמאל לנקודה 0.5- ערך הנגזרת שלילי, כלומר הפונקציה יורדת. מימין לנקודה זו ערך הנגזרת חיובי, כלומר הפונקציה עולה. מכאן שמדובר בנקודת מינימום.
- משמאל לנקודה a ערך הנגזרת חיובי, כלומר הפונקציה עולה. מימין לנקודה זו ערך הנגזרת שלילי, כלומר הפונקציה יורדת. מכאן שמדובר בנקודת מקסימום.
ב.
(1) נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0:
קיבלנו ש-
(2) נמצא את ערך ה-x של נקודת המקסימום של f'(x):
נחשב את השטח:
ג.
(1)
(2)
(3) נמצא את ערך ה-y של הנקודה:
נמצא את השיפוע:
נציב את הנקודה והשיפוע במשוואת הישר:
השינויים במתכונת הבגרות במתמטיקה 4 יחידות - מהמתכונת הישנה (804) לחדשה (471)
- הוספת סטטיסטיקה - במתכונת החדשה יכולות להופיע שאלות בסטטיסטיקה תיאורית, התפלגות נורמלית, רגרסיה ליניארית ובדיקת השערות.
- הוספת סדרות - הוספת בעיות מילוליות הדורשות ידע בסדרה חשבונית וסדרה הנדסית.
- שילובים בגיאומטריה - במתכונת הישנה נלמדו שלושת סוגי הגיאומטריה בנפרד: גיאומטריה במישור, גיאומטריה אנליטית וטריגונומטריה. במתכונת החדשה השאלות משלבות סעיפים מכל הסוגים.
- צמצום בחדו"א - בניגוד למתכונת הישנה, בחדו"א לא תידרשו לחקור פונקציית מנה עם שורש, ואינטגרל של פונקציה רציונלית יחושב רק כאשר המכנה הוא ממעלה שנייה לכל היותר. כמו כן, ייעשה שימוש בשאלה בפרמטר אחד לכל היותר. בשנים הקרובות (תשפ"ד–תשפ"ז) תידרשו לענות רק על בעיות קיצון גיאומטריות או גרפיות.
השאירו פרטים או התקשרו: 03-5377361
למעלה