מבחן מפע"ם לדוגמא

פתרון והסבר:

לסנן היא פעולה שמתבצעת באמצעות מסננת, המורכבת מנקבים רבים. לסרק היא פעולה המתבצעת באמצעות מסרק, שמורכב מהרבה שיניים.

• תשובה (1) שגויה: אומנם פעולת ההקלדה מתבצעת באמצעות מקלדת, המורכבת מהרבה מקשים. עם זאת, המקלדת היא הכלי, והמקשים הם החלקים שבו.
• תשובה (2) שגויה: לכתוב היא פעולה שמתבצעת באמצעות עט או עיפרון בעלי חוד אחד, בשונה מאמצעים המשמשים לסינון וסירוק. באמצעות נקב אחד או שן אחת, אי אפשר לסנן או לסרק, ובאמצעות חוד אחד אכן אפשר לכתוב.
• תשובה (4) שגויה: מגל הוא כלי שבאמצעותו קוצרים. מגל אינו חלק מהכלי שקוצרים באמצעותו (כמו נקב או שן).

פתרון והסבר:

כדי לפשט את הביטוי, עלינו להביא את האיברים השונים בו לבסיס זהה כדי שנוכל להשתמש בחוקי חזקות.

הבסיסים המופיעים בשאלה הם: 3, 8, 6, 4. אין בסיס אחד משותף לכל המספרים הללו, ולכן נחלקם לשתי קבוצות של בסיסים זהים:

את המספרים 4 ו-8 אפשר לבטא באמצעות הבסיס 2 כך: 

את המספר 6 אפשר לבטא באמצעות הבסיסים 2 ו-3 כך:

באופן זה כל המספרים בשאלה יהיו מבוטאים באמצעות הבסיסים 2 ו-3.

ניישם זאת על הביטוי הנתון:

כעת נשתמש בחוקי חזקות כדי לפשט את הביטוי:

מצאנו שהביטוי שווה לשישית, ולכן התשובה הנכונה היא תשובה מספר 4.

פתרון והסבר:

נבחן את הנתון: 

עלינו למצוא את התחום שבו y יכול להימצא, אך בנתון מופיע (y-) ולא y.

נביט בציר המספרים ונראה כי כאשר (y-) נמצא בין (1-) לאפס, אז הנגדי שלו (כלומר y) בהכרח נמצא בין אפס ל-1.

ראינו כי התחום שבו y יכול להימצא הוא:  כלומר y הוא שבר פשוט חיובי.

כאשר לוקחים את המספר 1 ומפחיתים ממנו שבר פשוט וחיובי, נשארים בהכרח עם שבר חיובי, ומכאן שהביטוי שווה בהכרח למספר בתחום שבין 0 ל-1 (לא כולל 0 ו-1).

למשל, אם

אז

התשובה היחידה שנמצאת בתחום שבו y יכול להימצא היא תשובה מספר 1, ולכן היא התשובה הנכונה.

פתרון והסבר:

בסרטוט מופיעים שני מעגלים: מעגל גדול שרדיוסו R ומעגל קטן שרדיוסו r.

כדי למצוא את היחס בין היקפי המעגלים שעליו אנו נשאלים, נבטא את ההיקף של כל אחד מן המעגלים באמצעות R ו- r:

הנוסחה לחישוב היקף מעגל היא: 

נציב את הרדיוסים הנתונים בנוסחה לחישוב ההיקף, ונחשב את היחס שעלינו למצוא:

מצאנו שהיחס שווה ל-2, ולכן התשובה הנכונה היא תשובה מספר 2.

הערה: משאלה זו אפשר ללמוד שהיחס בין היקפיהם של שני מעגלים זהה ליחס בין הרדיוסים שלהם. כלל זה נכון לכל שני מעגלים.

פתרון והסבר:

הנתון הראשון מספק לנו מידע על עבודתם המשותפת של אמיר ואדיר, אך כדי לענות על השאלה עלינו להבין מה קצב העבודה של אמיר לבדו.

שלב א' – מציאת קצב העבודה של אמיר

אמיר ואדיר עובדים באותו קצב, וכאשר הם עובדים יחד, הם מסיימים לצבוע את הבית ב-6 שעות.

מכאן אפשר להסיק שאם אמיר יצבע את אותו בית לבדו, יידרש לו זמן כפול (כי עליו לבצע עבודה כפולה). כלומר, אמיר צובע לבדו את הבית ב-12 שעות.

שלב ב' – העבודה המשותפת של אמיר ואבי

נסדר את הידוע לנו עד כה בטבלה:

אמיר ואבי אינם עובדים באותו קצב, ומכאן שצביעת הבית אינה מתחלקת שווה בשווה ביניהם.

נזכור כי השניים עובדים יחד. כדי להבין את חלוקת העבודה ביניהם יש לבדוק מה קורה כאשר הם עובדים פרק זמן זהה.

נעשה זאת על גבי טבלה. לפי הנתון, כאשר השניים צובעים בית יחדיו נדרשות להם 3 שעות. מכאן שאם יצבעו במשך 12 שעות, הם יוכלו לסיים לצבוע 4 בתים (פי 4 זמן = פי 4 בתים):

אפשר לראות כי כאשר אמיר ואבי עובדים יחד במשך 12 שעות, הם צובעים 4 בתים. מתוך ארבעת הבתים אמיר צובע בית אחד, מה שאומר שבאותן 12 שעות אבי צובע 3 בתים (3=4-1).

שלב ג' – פתרון השאלה

ראינו כי אבי צובע 3 בתים ב-12 שעות. אם עליו לצבוע רק בית אחד, הרי יידרשו לו 4 שעות (שליש מהעבודה = שליש מהזמן). התשובה הנכונה היא תשובה מספר 4.

טיפ חשוב: בשאלות הספק שבהן שני פועלים שקצב עבודתם אינו זהה, נשאל את עצמנו תמיד מה יהיה ההספק של כל אחד מהם אם משך הזמן שיעבדו יהיה שווה (להבדיל מהשאלה כמה זמן יידרש לכל אחד מהם אם יבצעו עבודה זהה, שלא תסייע לנו בפתרון).

פתרון והסבר:

השאלה שלפנינו עוסקת ביחסים, ואפשר לפתור אותה בצורה אלגברית או באמצעות בדיקת התשובות.

דרך א' – פתרון אלגברי

בשאלה מתוארת קבוצה (האנשים שהוזמנו למסיבה) המחולקת לתתי-קבוצות. במקרים כאלה מומלץ לסדר את הנתונים בתרשים בצורת עץ:

כעת אפשר להשתמש במשתנה x כדי לבטא את היחסים בין הקבוצות בשאלה. כדי להימנע מהתעסקות עם שברים מומלץ תמיד להתחיל בקבוצה הקטנה ביותר – לסמן אותה ב-x, ובהתאם אליה למצוא את גודלי שאר הקבוצות. במקרה שלנו הקבוצה הקטנה ביותר היא קבוצת האנשים שלא הביאו מתנה, ולכן נסמן קבוצה זו ב-x ונשלים את שאר הקבוצות בהתאם לנתוני השאלה:

מהתרשים עולה שמספר האנשים שהוזמנו למסיבה הוא 15x. נזכור כי x הוא בהכרח מספר שלם (שהרי הוא מסמל מספר אנשים), ולכן מספר האנשים שהוזמנו למסיבה הוא בהכרח מספר שמתחלק ב-15 ללא שארית. המספר היחיד מבין התשובות שמתחלק ב-15 ללא שארית הוא 30, ולכן התשובה הנכונה היא תשובה מספר 3.

דרך ב' – בדיקת תשובות

מכיוון שנשאלנו "איזה מהמספרים הבאים יכול להיות..." אפשר להציב את הערכים שבתשובות, לבדוק איזה מהם אפשרי ובדרך זו למצוא את התשובה הנכונה.

• תשובה (1): אם הוזמנו למסיבה 10 אנשים ו"מספר האנשים שהוזמנו למסיבה גדול פי 5 ממספר האנשים שהגיעו אליה", אז הגיעו למסיבה שני אנשים (2 = 10/5).
  לא ייתכן שמתוך שני האנשים שהגיעו למסיבה, מספרם של אלו שהביאו מתנה גדול פי 2 ממספרם של אלו שלא הביאו מתנה, מכיוון שבמצב שכזה נקבל מספר לא שלם של אנשים. התשובה נפסלת.
• תשובה (2): אם הוזמנו למסיבה 20 אנשים ו"מספר האנשים שהוזמנו למסיבה גדול פי 5 ממספר האנשים שהגיעו אליה", אז הגיעו למסיבה 4 אנשים (4 = 20/5).
  לא ייתכן שמתוך ארבעת האנשים שהגיעו למסיבה, מספרם של אלו שהביאו מתנה גדול פי 2 ממספרם של אלו שלא הביאו מתנה, מכיוון שבמצב שכזה נקבל מספר לא שלם של אנשים. התשובה נפסלת.
• תשובה (3): אם הוזמנו למסיבה 30 אנשים ו"מספר האנשים שהוזמנו למסיבה גדול פי 5 ממספר האנשים שהגיעו אליה", אז הגיעו למסיבה 6 אנשים (6 = 30/5). מבין ששת האנשים שהגיעו למסיבה, מספרם של אלו שהביאו מתנה גדול פי 2 ממספרם של אלו שלא הביאו מתנה, כלומר 4 אנשים הביאו מתנה, ושני אנשים לא הביאו מתנה. מצב זה אפשרי, ולכן התשובה מתאימה. בבדיקת תשובות, כאשר מוצאים תשובה אפשרית, אפשר לסמן אותה ולהמשיך הלאה מבלי לפסול את שאר התשובות.
• תשובה (4): אם הוזמנו למסיבה 54 אנשים ו"מספר האנשים שהוזמנו למסיבה גדול פי 5 ממספר האנשים שהגיעו אליה", אז מספר האנשים שהגיעו למסיבה אינו שלם, שהרי 54 לא מתחלק ב-5 ללא שארית. לכן תשובה זו נפסלת.